高中数学双曲线满足三角形F1PF2面积问题

发布网友 发布时间：2022-04-22 01:35

我来回答

共2个回答

热心网友 时间：2023-08-08 01:29

如果你知道公式，可以直接用公式：S = b^2*cot(θ/2) ，其中 θ 就是角 F1PF2 。这叫焦点三角形面积公式。
下面就证明下，你记住后就可以用了。椭圆中类似，是 S = b^2*tan(θ/2) 。

设 |PF1|=m，|PF2|=n ，
由余弦定理，|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1|*|PF2|*cosθ = |F1F2|^2 ，
也即 m^2+n^2-2mncosθ = 4c^2 ，------------（1）
又由双曲线定义，| |PF1|-|PF2| | = 2a ，
平方得 m^2+n^2-2mn = 4a^2 ，-------------（2）
（1）-（2）得 2mn-2mncosθ = 4(c^2-a^2) = 4b^2 ，
因此可得 mn = 2b^2/(1-cosθ)，
所以，S = 1/2*|PF1|*|PF2|*sinθ = 1/2*mn*sinθ
= b^2*sinθ/(1-cosθ)
= b^2*cot(θ/2) 。这里用到倍角公式。

热心网友 时间：2023-08-08 01:29

以双曲线的两个焦点F1,F2与双曲线上任意一点P为顶点组成的三角形是焦点三角形

故这种问题题型是双曲线焦点三角形的面积计算问题

万能公式推导如下：

设∠F₁PF₂=α
双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
因为P在双曲线上,由定义|PF₁-PF₂|=2a
在焦点三角形中,由余弦定理得
F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα
=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)
=2b^2/(1-cosα)
三角形的面积公式=1/2PF₁PF₂sinα
=b^2sinα/(1-cosα)
=b^2cot(α/2)