...上的动点.(1)求证:A1E⊥BD;(2)当E为棱CC1的中点时,求
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发布时间：2024-10-22 11:26
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（1）证明：连AC，设AC∩BD=O，连A1O，OE．
由A1A⊥面ABCD，知BD⊥A1A，又BD⊥AC，
故BD⊥面ACEA1．
由A1E?面ACEA1，得A1E⊥BD．
（2）解：在正△A1BD中，BD⊥A1O，而BD⊥A1E，
又A1O?面A1OE，A1E?平面A1OE，且A1O∩A1E=A1，
故BD⊥面A1OE，于是BD⊥OE，∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，设棱长为2a，且E为棱CC1的中点，
由平面几何知识得EO=3a，A1O＝6a，A1E=3a，
满足A1E2＝A1O2+EO2，故EO⊥C1O．
由EO⊥BD，知EO⊥面A1BD，
故∠EA1O是直线A1E与平面A1BD所成角．
又sin∠EA1O=EOA1E＝33，
故直线A1E与平面A1BD所成角的正弦是33．
